Question

如图1，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：∠AEP=∠ABP；
（2）P为AC延长线上任意一点，PE交DA的延长线于点E（图2），其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：∵∠EPB=∠BAD=90°
∴∠AEP=90°-∠AFE
∠ABP=90°-∠BFP
∵∠AFE=∠BFP
∴∠AEP=∠ABP；
（2）∠AEP≠∠ABP，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=90°．
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=90°．
∵∠BAE+∠AEP+∠BPE+∠ABP=360°，
∴∠AEP+∠ABP=180°，
∴∠AEP与∠ABP互补．
分析：（1）由PE⊥PB，就可以得出∠BPE=90°，根据等角的余角相等就可以直接得出结论；
（2）由条件得出（1）中的结论不成立，直接由四边形的内角和可以得出∠AEP+∠ABP=180°
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等角的余角相等的运用，解答时运用四边形的内角和定理求值是关键．