Question

3．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．
（1）当点D在线段BC上时，
①求证：BD=CE；
②求CD+CE的值；
（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD与CE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，然后根据全等三角形的性质即可推得结论；②等量代换即可得到即可得出结论；
（2）方法与（1）相同．

解答 解：（1）证明：①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
②点D在线段BC上时，∵BD=CE，∴CD+CE=CD+BD=BC=$\sqrt{2}$AB=2，即CD+CE=2；
（2）点D在直线BC上运动时，CD与CE之间的数量关系情况如下：①如（1）题，
②当点D在BC延长线上时，如图2，理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CE-CD=2；
③当点D在BC反向延长线上时，如图3，
理由：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD-CE-=2．

点评 本题考查了等腰直角三角形三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．