分析 （1）结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①假设存在，设出点D的坐标．联立一次函数与抛物线的解析式成方程组，解方程组求出点Q、C的坐标，由点到直线的距离公式求出点D到直线CQ的距离和点C到直线DF的距离，根据二者的比例关系得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解方程得出m的值，由此即可得出点D的坐标；
②根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，结合函数图象寻找出当点D的纵坐标绝对值为$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有三个，利用分割图形法求出平行四边形的面积S，再将y=±$\frac{27}{16}$代入抛物线解析式求出点D的坐标即可．
解答 解：（1）将点A（-4，0）、B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=16a-4b+3}\\{0=a-b+3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3．
（2）①假设存在，设点D的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m2+$\frac{15}{4}$m+3）（m＜0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{3}{4}{x}^{2}+\frac{15}{4}x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{11}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（0，3）．
直线CQ的解析式为y=x+3可变形为x-y+3=0，
直线DF的解析式为x=m，
点D到直线CQ的距离d1=$\frac{|m-（\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{15}{4}m+3）+3|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{|\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{11}{4}m|}{\sqrt{2}}$；
点C到直线DF的距离d2=|0-m|=-m．
∵d1：d2=$\sqrt{2}$：1，
∴$\frac{|\frac{3}{4}{m}^{2}+\frac{11}{4}m|}{\sqrt{2}}$=-$\sqrt{2}$m，
解得：m1=-$\frac{19}{3}$，m2=0（舍去），m3=-1，
即点D的坐标为（-$\frac{19}{3}$，$\frac{28}{3}$）或（-1，0）．
∴存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为$\sqrt{2}$：1，此时点D的坐标为（-$\frac{19}{3}$，$\frac{28}{3}$）或（-1，0）．
②∵抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=$\frac{3}{4}$$（x+\frac{5}{2}）^{2}$-$\frac{27}{16}$，
∴该抛物线的顶点坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）．
设点D到x轴的距离为h，
又∵点C的坐标为（0，3），$\frac{27}{16}$＜3，
∴当0＜h＜$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有4个；当h=$\frac{27}{16}$时，满足题意的点D有3个；当$\frac{27}{16}$＜h＜3时，满足题意的点D有2个；当h≥3时，满足题意的点D有1个．
∴h=$\frac{27}{16}$，此时S=AO•h=4×$\frac{27}{16}$=$\frac{27}{4}$．
（i）将y=-$\frac{27}{16}$代入y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3中得：$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=-$\frac{27}{16}$，
解得：x=-$\frac{5}{2}$，
此时点D的坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）；
（ii）将y=$\frac{27}{16}$代入y=$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3中得：$\frac{3}{4}{x}^{2}$+$\frac{15}{4}$x+3=$\frac{27}{16}$，
解得：x1=-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，x2=-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，
此时点D的坐标为（-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）或（-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）．
综上可知：当?ODAE的面积S为$\frac{27}{4}$时，满足条件的点D恰好有3个，此时点D的坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{16}$）、（-$\frac{5+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）和（-$\frac{5-3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{27}{16}$）．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、点到直线的距离、解二元二次方程组、解一元二次方程以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）①根据比例关系找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程；②确定点D到x轴的距离（点D的纵坐标的绝对值）．本题属于中档题，（1）没难度；（2）①难度不大，本问巧妙的利用了点到直线的距离，起到化繁为简的作用；②难度不大，稍显繁琐，解决该问时，结合函数图象，利用数形结合，确定点D到x轴的距离是关键．
浙大优学小学年级衔接捷径浙江大学出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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| 年龄（岁） | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 人数（个） | 2 | 4 | 6 | 8 |
| A． | 13 | B． | 14 | C． | 13.5 | D． | 5 |
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如图，点C是⊙O上的动点，弦AB=4，∠C=45°，则S△ABC的最大值是（ ）| A． | $2\sqrt{2}$+4 | B． | 8 | C． | $2\sqrt{3}$+4 | D． | 4$\sqrt{2}$+4 |
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如图，直线y1=$\frac{1}{2}$x+2与双曲线y2=$\frac{6}{x}$交于A（2，m）、B（-6，n）两点．则当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）| A． | x＞-6或0＜x＜2 | B． | -6＜x＜0或x＞2 | C． | x＜-6或0＜x＜2 | D． | -6＜x＜2 |
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如图，已知A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°，则∠AOB等于（ ）