Question

4．在△ABC中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s（a＞0且a≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．
（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
（2）若∠B=60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
（3）若∠C=70°，当∠CPQ的度数为多少时，△CPQ为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
（2）分两种情况；①当∠BPD=90°时，由∠B=60°，得到∠BDP=30°，求得2BP=BD=10，求出x=2.5；②当∠BDP=90°时，根据三角形的内角和得到∠BPD=30°，求出x=10；即可得到当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；
（3）分点P在边BC上或点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=20cm，D是AB的中点，
∴BD=10cm，
∵点Q的速度与点P的速度不同，
∴BP≠CQ，
要使△BPD和△CQP全等，
则BP=CP=8cm   CQ=BD=10cm，
∴x=$\frac{8}{2}=4$秒，
∴a=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$cm/s；

（2）①当∠BPD=90°时，
∵∠B=60°，∴∠BDP=30°，
∴2BP=BD=10，
∴BP=5，
 即2x=5，
∴x=2.5；
②当∠BDP=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPD=30°，
∴BP=2BD=20，
即2x=20，
∴x=10；
∴当P出发2.5秒或10秒后，△BPD为直角三角形；

（3）点P在边BC上，△CPQ为等腰三角形，
①当PQ=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠C=70°，
②当PQ=PC，∵∠C=70°，
∴∠PQC=∠C=70°，
∴∠CPQ=180°-2×70°=40°，
③当PC=CQ，∵∠C=70°，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
点P在边BC的延长线上，△CPQ为等腰三角形，
∵∠ACB=70°，∴∠ACP=110°，
∵PC=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
综上所述：当△CPQ为等腰三角形时，∠CPQ的度数为35°，40°，55°，70°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．