Question

菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质

专题：几何综合题

分析：作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，再由轴对称的性质可知DE=DE′=1，故可得出△AE′D是直角三角形，由菱形的性质可知∠PDE′=

1

2

∠ADC=30°，根据锐角三角函数的定义求出PE的长，进而可得出PC的长．

解答：解：如图所示，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接AE′，则线段AE′的长即为AP+PE的最小值，
∵菱形ABCD的边长为2，E是AD边中点，
∴DE=DE′=

1

2

AD=1，
∴△AE′D是直角三角形，
∵∠ABC=60°，
∴∠PDE′=

1

2

∠ADC=30°，
∴PE′=DE′•tan30°=

3

3

，
∴PC=

PE′2+CE′2

=

( 3 3 )2+12

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．