Question

17．如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点E是中线AD的中点，点F在AB边上，点G在AC边上，则由线段DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值等于12．

Answer 1

分析 如图，作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK．此时由线段DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小，只要证明MN∥BC，FG是△ABC的中位线即可解决问题．

解答 解：如图，作点D关于直线AB、直线AC的对称点M、N，连接EM、EN交AB、AC于点F、点G，连接EK．

∵FE+FD=FM+EF=EM，
根据两点之间线段最短，可知此时FE+FD最短，同理GE+GD最短．即此时DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小
∵△ABC是等边三角形，点E是中线AD的中点，
∴AD⊥BD，∠B=60°，∠BDK=∠BAD=30°，∠ADK=60°，
∴AD=2DK，
∴DE=DK，
∴△EDK是等边三角形，
∴∠EKD=∠KED=60°，
∵KM=KD=DE=EK，
∴∠M=∠KEM=30°，
∴∠MED=90°，同理∠NED=90°，
∴M、E、N共线，MN∥BC，
∵AE=ED，
∴AF=FB，AG=GC，
∴FG=$\frac{1}{2}$BC=4，DF=DG=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴DG、GE、EF、FD围成的图形周长最小值为12．
故答案为12．

点评 本题考查等边三角形的性质、轴对称-最短问题、平行线等分线段定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用对称，探究最小值问题，属于中考常考题型．