Question

9．如图，点A₁，A₂依次在y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，点B₁，B₂依次在x轴的正半轴上．若△A₁OB₁，△A₂B₁B₂均为等边三角形，则点B₂的坐标为（6$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 由于△A₁OB₁等边三角形，作A₁C⊥OB₁，垂足为C，由等边三角形的性质求出A₁C=$\sqrt{3}$OC，设A₁的坐标为（m，$\sqrt{3}$m），根据点A₁是反比例函数y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上的一点，求出BO的长度；作A₂D⊥B₁B₂，垂足为D．设B₁D=a，由于，△A₂B₁B₂为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点A₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出B₂点的坐标．

解答 解：作A₁C⊥OB₁，垂足为C，
∵△A₁OB₁为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=60°，
∴tan60°=$\frac{{A}_{1}C}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁C=$\sqrt{3}$OC，
设A₁的坐标为（m，$\sqrt{3}$m），
∵点A₁在y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象上，
∴m$•\sqrt{3}m$=9$\sqrt{3}$，解得m=3，
∴OC=3，
∴OB₁=6，
作A₂D⊥B₁B₂，垂足为D．
设B₁D=a，
则OD=6+a，A₂D=$\sqrt{3}$a，
∴A₂（6+a，$\sqrt{3}$a）．
∵A₂（6+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$，得（6+a）•$\sqrt{3}$a=9$\sqrt{3}$，
化简得a²+6a-9=0
解得：a=-3±3$\sqrt{2}$．
∵a＞0，
∴a=-3+3$\sqrt{2}$．
∴B₁B₂=-6+6$\sqrt{2}$，
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=6$\sqrt{2}$，
所以点B₂的坐标为（6$\sqrt{2}$，0）．
故答案是：（6$\sqrt{2}$，0）．

点评 此题综合考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．