Question

17．如图，AB为圆O的弦，QO⊥AB，QA交⊙O于C，BC交QO于P，求证：OA²=OP•OQ．

Answer 1

分析 欲证明OA²=OP•OQ，只要证明△AOP∽△QOA，只要证明∠OAP=∠Q即可解决问题．

解答 证明：如图连接OB、AP，延长QO交AB于H．
∵OH⊥AB，OA=OB，
∴∠AOH=∠BOH，AH=HB，
∴QH垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠ACB=∠BOH，
∴∠PCQ=∠POB，∵∠CPQ=∠OPB，
∴∠Q=∠PBO，
∵∠PAB=∠PBA，∠OAB=∠OBA，
∴∠PAO=∠PBO=∠Q，
∵∠AOP=∠AOQ，
∴△AOP∽△QOA，
∴$\frac{AO}{QO}$=$\frac{OP}{OA}$，
∴OA²=OP•OQ．

点评 本题考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．