Question

创美公司生产的某种时令商品每件成本为20元，据市场调查分析，五月份的日销售量m（件）与时间t（天）符合一次函数关系m=at+b，且t=2时，m=92；t=10时，m=76．而且，前15天每天的价格y₁（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₁=0.25t+25（1≤t≤15且t为整数），第16天到月底每天的价格y₂（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y₂=-0.5t+40（16≤t≤31且t为整数）．
（1）求m与t之间的函数关系式；
（2）请预测五月份中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据题意直接利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前15天和后15天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前15天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．

解答：解：（1）把t=2，m=92和t=10，m=76代入m=at+b，得：

2a+b=92 10a+b=76

解得：

a=-2 b=96

，
∴m=-2t+96． 

（2）设日销售利润为w=m（y₁-20）元，根据题意，得：
①当w=m（y₁-20）时，
w=m（y₁-20）=（-2t+96）（0.25t+25-20）=-

1

2

t²+14t+480=-

1

2

（t-14）²+578．
∵t=14，∴当t=14时，w取得最大值，w_最大=578；
②当w=m（y₂-20）时，w=m（y₂-20）=w=t²-88t+1920=（t-44）²-16．
∴w=t²-88t+1920=（t-44）²-16．
∵t=44，抛物线开口向上，且对称轴t=44，
∴当w=（16-44）²-16=768．时，w随t的增大而减小，
∴当t=16时，w取得最大值，w=（16-44）²-16=768．
∵768＞578，∴第16天利润最大，最大值为768元．

（3）∵w=-

1

2

（t-14）²+578-（-2t+96）a=-

1

2

t²+（14+2a）t+480-96a，
∴-

1

2

＜0，抛物线开口向下，且前15天中，日销售利润随时间t（天）的增大而增大，
∴-

b

2a

=2a+14≥15．   
∴a≥

1

2

，
又∵a＜4，
∴

1

2

≤a＜4．

点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；
（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．