Question

如图，⊙O的半径为3，直径AB⊥弦CD，垂足为E，点F是BC的中点，那么EF²+OF²=

 

．

Answer 1

分析：连接AC，由直径与弦垂直，得到三角形BCE为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EF等于BC的一半，再根据中位线定理得到OF等于AC的一半，然后由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角得到角ACB为直角即三角形ABC为直角三角形，根据勾股定理得到AC与BC的平方和等于直径AB的平方，然后把所求的式子等量代换即可求出值．

解答：解：连接AC，
∵直径AB⊥弦CD，
∴△BCE为直角三角形，
由F为BC的中点，得到EF为斜边BC的中线，
∴EF=FB=

1

2

BC，
又∵点F为BC中点，
∴OF⊥BC，
∴∠OFB=90°，
在Rt△OFB中，
根据勾股定理得：FB²+OF²=OB²=9，
则EF²+OF²=9．
故答案为：9

点评：此题综合考查了中位线定理，直角三角形及圆的有关性质．在圆中已知直径一般作辅助线形成直径所对的圆周角，构建直角三角形，借助直角三角形的有关知识解决数学问题．