Question

如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D恰好落在BC边上的点E处，若折痕AF=5

5

，且tan∠FEC=

3

4

，则矩形ABCD的周长是（　　）

• A、36
• B、48
• C、55
• D、以上答案都不对

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：根据∠FEC的正切值设CF=3x，CE=4x，利用勾股定理列式求出EF，再根据翻折的性质可得DF=EF，∠AEF=∠D=90°从而求出CD，根据同角的余角相等求出∠AEB=∠EFC，再根据两组角对应相等，两三角形相似求出△ABE和△ECF相似，根据相似三角形对应边成比例求出AE，根据翻折的性质可得AD=AE，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据矩形的周长的定义求解即可．

解答：解：∵tan∠FEC=

3

4

，
∴设CF=3x，CE=4x，
则EF=

CF2+CE2

=

(3x)2+(4x)2

=5x，
∵翻折后点D落在点E，
∴DF=EF=5x，
∴CD=CF+DF=3x+5x=8x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=8x，
由翻折的性质得，∠AEF=∠D=90°，AE=AD，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴

AE

EF

=

AB

EC

，
即

AE

5x

=

8x

4x

，
解得AE=10x，
∴AD=10x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
即（10x）²+（5x）²=（5

5

）²，
解得x=1，
∴AB=8，AD=10，
∴矩形ABCD的周长=2（8+10）=36．
故选A．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．