Question

有A、B、C、D、E五个队分在同一个小组进行单循环赛篮球比赛，争夺出线权，比赛规则规定；胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队的积分为9分。（1）A队的战绩是几胜几负几平？
（2）如果小组中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线？
（3）如果小组中有一个队的积分为10分，A队能否出线？
（4）如果小组中积分最高的队积9分，A队能否出线？

Answer 1

解：因为这五个队进行单循环比赛，每队都比赛4场，所以总场数为×5×4=10（场）。
根据比赛的规则，得每场结果分出胜负，两队得分和为3分；每场结果为平局的比赛，每队各得1分，两队得分和为2分。因此，这10场比赛若都分出胜负，则各队积分总和最大为30分；若都赛成平局，则各队积分总和最小为20分。
（1）设A队胜X场，平Y场，则负（4-X-Y）场。
∴3X+Y+0×（4-X-Y）=9，
即3X+Y=9，
∴Y=9-3X。
∵0≤X≤4，
∴当整数X=0，1，2，3，4时，Y=9，6，3，0，-3。
又∵0≤Y≤4且0≤X+Y≤4，
∴，
即A队积9分时，胜3场，负1场。
（2）若有一队战绩为全胜，则不妨设这个队为B队，这时，B队胜4场，积12分，它名列小组第一，A队能否出线取决于C、D、E三队中是否有积分多于或等于9分的队。
又∵10场比赛积分最大为30分，去掉A、B两队的积分，C、D、E三队共积9分，
∴C、D、E三队积分都小于9分，
所以A队一定出线。
（3）如果小组中有一队积分为10分，不妨设为B队，
设B队胜X场，平Y场，则负（4-X-Y）场。
∴3X+Y+0×（4-X-Y）=10。
∴Y=10-3X。
∴0≤X≤4。
∴当整数X=0，1，2，3，4时，Y=10，7，4，1，-2。
又∵0≤Y≤4且0≤X+Y≤4，
∴ ，
∴B队胜3场，平1场。
∵A队积9分，胜3场，
不妨设A队胜C、D、E队，负给B队。
又∵B队胜3场平1场，
∴不妨设B队又胜D、E队，于是C队平。
则这时已比赛7场，还有3场，即C---D，C--E，D--E，这3场比赛中无论哪个队，最多积分为6分小于A的积分。
∴A队一定出线且为第二名。
（4）如果小组中积分最高的队积9分，则这五个队中可能有M个队得9分。
 ∴20≤9M≤30，即，
∴正整数M=3，
即有3个队都可能为9分，即都可能胜3场负1场。
由规则知，只取前两名且获胜场数相等时据进球分数排名，由此可知，A队不一定出线。