Question

已知抛物线的顶点是C（0，a）（a＞0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点．
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上任意一点，过P作PH丄x轴．垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在笫一象限相交于A、B两点，若DA=2DB．且S_△ABD=4．求a的值．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=kx²+a，
∵经过点（2a，2a），
4a²k+a=2a，
∴k=，
则抛物线的解析式为：y=x²+a；

（2）连接PD，设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，
∵y=x²+a，
∴x²=4a×（y-a）=4ay-4a²，
∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，
∴PD=PH，

（3）过B作BE⊥x，AF⊥x，
由（2）的结论：BE=DB，AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2OB，
∴B是OA的中点，
∵C是OD的中点，
连接BC，∴BC===BE=DB，
过B作BR⊥y，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+=，
∴=x²+a，
∴x²=2a²，
∵x＞0，
∴x=a，
∴B（a，），AO=2OB，
∴S_△OBD=S_△ABD=4，
∴×2a×a=4，
∴a2=4，
∵a＞0，
∴a=2，
分析：（1）根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx²+a，将经过点（2a，2a），代入求出即可；
（2）根据勾股定理得出PD²=DG²+PG²，进而求出PD=PH；
（3）利用（2）中结论得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中点，进而得出S_△OBD=S_△ABD=4，即可得出a的值．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．