Question

10．已知：如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于点E，BD⊥CF于点D，AF⊥CF．求证：BD=AF+DF．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFC≌△CDB，然后由全等三角形的对应边CD=AF，BD=CF，从而求得CF=AF+DF=BD．

解答 证明：∵BD⊥CF，∠ACB=90°，AF⊥CF，
∴∠DCB+∠DBC=∠DCB+∠ACF=90°，
∴∠DBC=∠ACF，
∴∠CAF=∠BCD，
在△AFC和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCD}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠DBC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△CDB（ASA），
∴CD=AF，BD=CF，
∴BD=CF=CD+DF=AF+CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．