Question

19．如图，直线AC∥BD，P在直线AB上（不与点A，B重合）．
（1）当点P在如图所示的位置时，∠PCA=30°，∠PDB=25°，则∠CPD=55°．
（2）猜想，当点P在A，B两点之间运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD之间的数量关系∠CPD=∠PCA+∠PDB．
（3）说明（2）中的猜想成立的理由．
（4）当点P在直线AB上（不在线段AB上）运动时，试探究∠PCA，∠PDB，∠CPD之间的数量关系（画图并直接写出结论即可）

Answer 1

分析 （1）如图①，过P点作PE∥AC交CD于E点，由于AC∥BD，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，所以∠CPD=50°；
（2）根据（1）可得结论；
（3）证明方法与（1）一样；
（4）过P点作PF∥BD交CD于F点，由于AC∥BD，则PF∥AC，根据平行线的性质得∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，所以∠CPD=∠PCA-∠PDB．

解答 解：（1）如图①，过P点作PE∥AC交CD于E点，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA=30°，∠DPE=∠PDB=25°，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=55°，
故答案为：55；

（2）∠CPD=∠PCA+∠PDB，
故答案为：∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（3）过P点作PE∥AC交CD于E点，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA，∠DPE=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE；

（3）∠CPD=∠PCA-∠PDB．理由如下：
如图②，过P点作PF∥BD交CD于F点，
∵AC∥BD，
∴PF∥AC，
∴∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPF-∠DPF=∠PCA-∠PDB．

点评 本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．合理添加平行线是解决此题的关键．