Question

10．如图，△ABC是等边三角形，延长BA到点D，延长CB到点E，使BE=AD，连接CD，AE．
（1）求证：AE=CD；
（2）若延长EA交CD于点F，求∠CFE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠CAB=∠ABC=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠E=∠D，∠EAB=∠ACD=∠DAF，根据三角形的内角和和三角形的外角的性质得到2∠EAF+60°=180°，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠ABC=60°，
∴∠DAC=∠ABE=120°，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠CAD}\\{BE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE=CD；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴∠E=∠D，∠EAB=∠ACD=∠DAF，
∵∠CFE=∠D+∠DAF=∠E+∠ACF，∵∠EFC+∠E+∠ACB+∠ACF=180°，
∴2∠EAF+60°=180°，
∴∠CFE=60°．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题，中考常考题型．