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【题目】在直角坐标系中,,将经过旋转、平移变化后得到如图1所示的.

(1)求经过三点的抛物线的解析式;

(2)连结,点是位于线段上方的抛物线上一动点,若直线的面积分成两部分,求此时点的坐标;

(3)现将分别向下、向左以的速度同时平移,求出在此运动过程中重叠部分面积的最大值.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

试题分析:(1)先根据平移性质写出C点坐标,设经过三点的抛物线解析式为,然后将A,B,C三点坐标代入解析式,求出a,b,c即可确定此抛物线解析式;(2)分两种情况计算,设直线交于点. 直线的面积分成两部分,,过于点,则.,.时,,能求出EF,BF,的长度,再求出OF的长度,于是E点坐标确定,直线EC的解析式也就知道了,因为P点在直线EC上,又在抛物线上,列两解析式相等,即可求出P点横坐标,代入两个中任何一个解析式就可求出P点纵坐标.当时,同样有,于是有,同样求出EF,BF,的长度,再求出OF的长度,确定E点坐标及直线EC的解析式,列两解析式相等,进而求出P点坐标;(3)设向下平移的距离为,则CBD向左平移的距离为2t,重叠部分的面积为.当C点向左平移到A1B1边上时,两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形,算出t=,即当时,重叠部分为四边形.设轴交于点轴交于点交于点,连结.由已知求出的解析式,的解析式,轴交点坐标,轴交点坐标,两个解析式联立求出Q点坐标,建立重叠部分S与t的二次函数并算出最大值.平移过程中当D点与交于x轴同一点时,这时重叠部分为0,算出t=,即当时,重叠部分为直角三角形.设轴交于点 交于点.则,利用三角形相似或平移的距离表示出重叠部分三角形的底和高,建立S与t的二次函数,算出最大值,两种情况进行比较,得出结论.

试题解析:(1)由题意可知,将经过旋转、平移变化得到如图所示的

..设经过三点的抛物线解析式为,则有,解得:. 经过三点的抛物线的解析式为;(2)如图4.1所示,设直线交于点. 直线的面积分成两部分,,过于点,则.,.时,有.设直线解析式为,将E,C两点坐标代入,则可求得其解析式为,解得(舍去),;当时,同样有,.即,解得EF= ,BF= ,OF=,所以E(-,),设直线解析式为,将E,C两点坐标代入,则可求得其解析式为,于是有,整理得:,解得(舍去),将代入直线EC解析式求出y=,所以.综上所述点P的坐标为

(3)设向下平移的距离为,则CBD向左平移的距离为2t,重叠部分的面积为.可由已知求出的解析式为轴交点坐标为. 的解析式为轴交点坐标为. 当C点向左平移到A1B1边上时,两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形,由平行相似可得关系式:,解得t=,即当时,重叠部分为四边形.如图4.2所示,设轴交于点轴交于点交于点,连结.由,得,解得..即当t=的最大值为.平移过程中当D点与交于x轴同一点时,这时重叠部分面积为0,由DO可得关系式:,解得t=如图所示,即当时,重叠部分为直角三角形. 轴交于点 交于点.G点横坐标为1-2t,设G点纵坐标为x,则,解得x=4-5t,于是G点坐标为,则..即当t=时,S最大值是时,的最大值为.因为<,所以在此运动过程中重叠部分面积的最大值为.

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