【题目】在直角坐标系中,、,将经过旋转、平移变化后得到如图1所示的.
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式;
(2)连结,点是位于线段上方的抛物线上一动点,若直线将的面积分成两部分,求此时点的坐标;
(3)现将、分别向下、向左以的速度同时平移,求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.
【答案】(1);(2),;(3).
【解析】
试题分析:(1)先根据平移性质写出C点坐标,设经过、、三点的抛物线解析式为,然后将A,B,C三点坐标代入解析式,求出a,b,c即可确定此抛物线解析式;(2)分两种情况计算,设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分,∴或,过作于点,则∥.∴∽,∴.∴当时,,能求出EF,BF,的长度,再求出OF的长度,于是E点坐标确定,直线EC的解析式也就知道了,因为P点在直线EC上,又在抛物线上,列两解析式相等,即可求出P点横坐标,代入两个中任何一个解析式就可求出P点纵坐标.当时,同样有,于是有,同样求出EF,BF,的长度,再求出OF的长度,确定E点坐标及直线EC的解析式,列两解析式相等,进而求出P点坐标;(3)设向下平移的距离为,则△CBD向左平移的距离为2t,与重叠部分的面积为.当C点向左平移到A1B1边上时,两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形,算出t=,即当时,与重叠部分为四边形.设与轴交于点,与轴交于点,与交于点,连结.由已知求出的解析式,的解析式,与轴交点坐标,与轴交点坐标,两个解析式联立求出Q点坐标,建立重叠部分S与t的二次函数并算出最大值.平移过程中当D点与交于x轴同一点时,这时重叠部分为0,算出t=,即当时,与重叠部分为直角三角形.设与轴交于点, 与交于点.则,利用三角形相似或平移的距离表示出重叠部分三角形的底和高,建立S与t的二次函数,算出最大值,两种情况进行比较,得出结论.
试题解析:(1)由题意可知、,将经过旋转、平移变化得到如图所示的,
∴.∴.设经过、、三点的抛物线解析式为,则有,解得:. ∴经过、、三点的抛物线的解析式为;(2)如图4.1所示,设直线与交于点. ∵直线将的面积分成两部分,∴或,过作于点,则∥.∴∽,∴.∴当时,有,∴,∴.设直线解析式为,将E,C两点坐标代入,则可求得其解析式为,∴,解得(舍去),∴;当时,同样有∽,∴.即,解得EF= ,BF= ,OF=,所以E(-,),设直线解析式为,将E,C两点坐标代入,则可求得其解析式为,于是有,整理得:,解得(舍去),将代入直线EC解析式求出y=,所以.综上所述点P的坐标为,;
(3)设向下平移的距离为,则△CBD向左平移的距离为2t,与重叠部分的面积为.可由已知求出的解析式为,与轴交点坐标为. 的解析式为,与轴交点坐标为. ①当C点向左平移到A1B1边上时,两三角形重叠部分由四边形变为直角三角形,由平行相似可得关系式:,解得t=,即当时,与重叠部分为四边形.如图4.2所示,设与轴交于点,与轴交于点,与交于点,连结.由,得,解得.∴.即当t=时的最大值为.②平移过程中当D点与交于x轴同一点时,这时重叠部分面积为0,由DO∥可得关系式:,解得t=如图所示,即当时,与重叠部分为直角三角形. 设与轴交于点, 与交于点.G点横坐标为1-2t,设G点纵坐标为x,则,解得x=4-5t,于是G点坐标为,则,.∴.即当t=时,S最大值是,∴当时,的最大值为.因为<,所以在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一个圆柱形无盖油桶,底面直径4分米,高5分米。
(1)做这个油桶要用多少铁皮?(3分)
(2)如果每升油重0.8千克,这个油桶能装油多少千克?(3分)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛,两人在相同条件下各射击10次,射击的成绩如图所示.
根据图中信息,回答下列问题:
(1)甲的平均数是___________,乙的中位数是______________;
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,并从计算结果来分析,你认为哪位运动员的射击成绩更稳定?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( )
A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
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