Question

已知A（4，0）、B（0，4）
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从A点出发沿x轴向O点运动，点Q从O点出发沿y轴向B点运动，两点同时出发且运动速度相同．设AP=t﹙0＜t＜4﹚，求直线PQ的解析式；
（3）M是线段AB的中点，在（2）的条件下，试判断△MPQ的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式是：y=kx+b，
把A（4，0），B（0，4）代入得：，
解得：k=-1，b=4，
∴y=-x+4，
答：直线AB的解析式是y=-x+4．

（2）根据题意得：∵AP=t，
∴OQ=AP=t，OP=4-t，
∴Q（0，t），P（4-t，0），
设直线PQ的解析式是y=ax+c，
把P、Q的坐标代入得：
解得：a=，c=t，
∴，
答：直线PQ的解析式是．

（3）△MPQ的形状是等腰直角三角形，
理由是：连OM，
∵OA=OB，M为AB的中点，
∴OM⊥AB，OM=AM=BM，OM平分∠AOB，
∴∠BAO=∠BOM=45°，
∵AP=OQ，
∴△MOQ≌△MAP，
∴MQ=MP，∠QMO=∠AMP，
∴∠QMO+∠OMP=∠OMP+∠PMA=90°，
即∠QMP=90°，
∴△MPQ为等腰直角三角形．
分析：（1）设直线AB的解析式是：y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出Q、P的坐标，设直线PQ的解析式是y=ax+c，把P、Q的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据等腰三角形的性质求出OM⊥AB，OM=AM=BM，OM平分∠AOB，证△MOQ≌△MAP，推出MQ=MP，∠QMO=∠AMP即可．
点评：本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．