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    观察下列各式：
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ，
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ，…，根据观察计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    (2n-1)×(2n+1)
    =
     
    （n为正整数）．
    分析：根据已知条件，将每一个分数分解成两个负数，寻找抵消规律求解．
    解答：解：原式=
    1
    2
    （1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    -
    1
    2n+1
    ）
    =
    1
    2
    （1-
    1
    2n+1
    ）
    =
    n
    2n+1
    ．
    点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意找出规律是解答此题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    若n为正整数，观察下列各式：
    ①
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ；②
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ；③
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    …
    根据观察计算并填空：
    （1）
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    =
    3
    7
    3
    7

    （2）
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +    …+
    1
    (2n-1)(2n+1)
    =
    n
    2n+1
    n
    2n+1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    先观察下列各式：
    1
    1×4
    =
    1
    3
    (1-
    1
    4
    )    ，
    1
    4×7
    =
    1
    3
    (
    1
    4
    -
    1
    7
    )    ，
    1
    7×10
    =
    1
    3
    (
    1
    7
    -
    1
    10
    )    ，…
    1
    n(n+3)
    =
    1
    3
    (
    1
    n
    -
    1
    n+3
    )    ．
    根据以上的观察，计算：
    1
    1×4
    +
    1
    4×7
    +
    1
    7×10
    +    …+
    1
    2005×2008
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （12）观察下列各式：
    1
    1×2
    =
    1
    1
    -
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    1
    4×5
    =
    1
    4
    -
    1
    5
    ，…
    （1）用含有n（n为正整数）的式子表示上述过程中的规律
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ；
    （2）用你发现的规律解答下面问题：已知a，b是有理数，且|ab-2|与|b-1|互为相反数．
    求 
    1
    ab
    +
    1
    (a+1)(b+1)
    +
    1
    (a+2)(b+2)
    +…+
    1
    (a+2011)(b+2011)
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    若n为正整数，观察下列各式：
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ，
    1
    3×3
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ，…根据观察计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    19×21
    =
    10
    21
    10
    21
    ．

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