Question

15．已知点E是菱形ABCD边BC上的中点，∠ABC=30°，P是对角线BD上一点，且PC+PE=$\sqrt{26}$．则菱形ABCD面积的最大值是20+8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 取AB的中点E′，连接CE′交BD于P，由E、E′关于直线BD对称，推出PE=PE′，推出PE+PC=PE′+PC，所以当PC+PE′=CE′=$\sqrt{26}$时，菱形ABCD面积的最大，作E$′\$H⊥BC于H，AM⊥BC于M．设AB=BC=2a，则AM=a，E′H=$\frac{1}{2}$a，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△CHE′中，由CE′²=CH²+HE′²，可得26=$\frac{1}{4}$a²+（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²a²，解得a²=$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$，根据菱形ABCD面积的最大值=BC•AM=2a•a=2a²，由此即可解决问题．

解答 解：取AB的中点E′，连接CE′交BD于P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，∵BE=EC，
∴E、E′关于直线BD对称，
∴PE=PE′，
∴PE+PC=PE′+PC，
∴当PC+PE′=CE′=$\sqrt{26}$时，菱形ABCD面积的最大，
作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．设AB=BC=2a，则AM=a，E′H=$\frac{1}{2}$a，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CH=2a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△CHE′中，∵CE′²=CH²+HE′²，
∴26=$\frac{1}{4}$a²+（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²a²，
∴a²=$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$，
∴菱形ABCD面积的最大值=BC•AM=2a•a=2a²=2×$\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$=20+8$\sqrt{3}$．
故答案为20+8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、勾股定理、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用对称添加辅助线，需要用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．