Question

16．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3．
（1）图中有几对相似三角形？请你找出来，并选择一对说明理由．
（2）若AD=3，BD=1，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由三角形的外角和定理可证明∠DEC=∠BDC，利用由两对角相等的两个三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．

解答 （1）∵∠DEC=∠1+∠A，∠BDC=∠3+∠A，
∵∠1=∠3，
∴∠BDC=∠DEC，
∵∠2=∠3，
∴△BCD∽△CDE，
∵∠1=∠2，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵∠A=∠A，∠2=∠3，
∴△ABC∽△ADE，
∴△ADE∽△ADC，
∴图中有4对相似三角形；
（2）∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AB•AD=（3+1）×3=12，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴AE=$\frac{AD•AC}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角形外角和定理以及三角形相似的判定，题目的难度不大，属于基础性题．