Question

如图①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120^o，以D为顶点作一个60^o角，角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN。

(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由。（6分）(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长。

(3)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，在图②中画出图形，并说出BM、MN、NC之间的关系（4分）

Answer 1

解：如图：

（1）MN=MB+NC。理由如下：

∵DB=DC，∠BDC=120^O

∴将△DCN绕点D逆

时针旋转120^o，使

DC与DB重合，

得，Rt△DBN^/。

∵∠MDN=60^O

∴∠CDN+∠BDM=120^O-60^O=60^O，

∴∠MDN^/=60^O=∠MDN，DC=DN^/，DM=DM

∴△MDN≌△MDN^/，

∴MN=MN^/而NC=N^/B，

∴MN=MB+NC。

（2）由（1）题得：MN=MB+NC，

AB=AC=2

∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=4

（3）关系：MN=CN-BN

（提示：将Rt△DBN绕点D顺时针旋转120^o使DB与DC重合，则CM^/=BN，可证：△NDM≌△NDM^/）