Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AC=2，tan∠ABD=2，求⊙O的直径．

Answer 1

解：如右图所示，连接OA．
（1）∵BA平分∠CBE，
∴∠ABE=∠ABO，
又∵∠ABO=∠BAO，
∴∠BAO=∠ABD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠BAD=90°，
即∠DAO=90°，
∴AD是⊙O切线；

（2）∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，
∴tan∠ABO=2，
在Rt△ABC中，AB==，
∴BC===5．
分析：（1）先连接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE=∠ABO，而∠ABO=∠BAO，易得∠BAO=∠ABD，结合AD⊥BE，易求∠BAO+∠BAD=90°，即∠DAO=90°，从而可证AD是⊙O切线；
（2）由于BC是直径，那么∠BAC=90°，而∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，易得tan∠ABO=2，在Rt△ABC中，易求AB，进而可求BC．
点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、正切．解题的关键是连接OA，并求出AB．