Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线y₂＝x，点P(n,0)为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线

和直线y₂＝x于点A，点B.

    ⑴直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；

⑵设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；

⑶已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a，b，c为整数且a≠0），对一切实数x恒有

x≤y≤，求a，b，c的值．

Answer 1

解：(1)，.      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

(2) =AB==.  

           ∴ ==.

           ∴ 当时，取得最小值.

当取最小值时，线段OB与线段PM的位置

关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图)

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分

        (3) ∵ 对一切实数恒有 ≤≤，

           ∴ 对一切实数，≤≤都成立. ()  ①

           当时，①式化为 0≤≤.

 ∴ 整数的值为0

           此时，对一切实数，≤≤都成立.()

② ③

           即        对一切实数均成立.

           由②得 ≥0  () 对一切实数均成立.

④ ⑤

           ∴

           由⑤得整数的值为1. 

此时由③式得，≤对一切实数均成立. ()

即≥0对一切实数均成立. ()

当a=2时，此不等式化为≥0，不满足对一切实数均成立.

当a≠2时，∵ ≥0对一切实数均成立，()

⑥ ⑦

           ∴  

           ∴ 由④，⑥，⑦得 0 <≤1.

∴ 整数的值为1. 

          ∴ 整数，，的值分别为，，.      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分