Question

8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得正方形AB′C′D′，边B′C′与CD交于点E，则四边形AB′ED的面积是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连结AE，如图，根据正方形和旋转的性质得∠BAB′=30°，AB=AB′AD，∠B=∠B′=90°，则∠DAB′=60°，再利用“HL”证明Rt△ADE≌Rt△AB′E得到∠DAE=∠B′AE=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后根据三角形面积公式，利用四边形AB′ED的面积=2S_△ADE求解即可．

解答 解：连结AE，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得正方形AB′C′D′，
∴∠BAB′=30°，AB=AB′AD，∠B=∠B′=90°，
∴∠DAB′=60°，
在Rt△ADE和Rt△AB′E中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AD=AB′}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，
∴∠DAE=∠B′AE=30°，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴四边形AB′ED的面积=2S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是连结AE，证明Rt△ADE≌Rt△AB′E．