Question

如图，抛物线y=-x²+bx+2交x轴于A、B两点（点B在点A的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=，O为坐标原点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求证：∠ACB是直角；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠APB为锐角？若存在，求出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：D=A、B、C三点的坐标分别为（4，O），（-1，O），（O，2）．

（2）证明：△BOC∽△COA，∠BC0=∠CAO．

（3）解：设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点，
且其坐标为（，0），∠BCA=90°，
∵B、C、A三点都在以BA为直径的0M上，
又抛物线y=-++2和⊙M都关于直线x=对称．
∴c点关于x=的对称点D必在抛物线上，也在⊙M上．
连接CD，交直线x=交于N点，易知N点坐标为（，2），而N为CD的中点，
∴D点坐标为（3，2），
作出⊙M，则⊙M将抛物线分成BC段、CD段、DA段及x轴下方的部分（如图1所示）．
设点P（x，y）是抛物线上任意一点，
当P点在CD段（不包括C、D两点）及在x轴下方的部分时，P点均在⊙M外．
当P点在⊙M外时，不失一般性，令P点在CD段，
连接BP交OM于Q点，连接AQ、AP（如图2），则：
∠BQA是△PAQ的外角．
∴∠APQ＜AQB．
又AB是⊙M的直径∠AQB-90°，
∴∠APB＜90°，
故当P点在OM外时，P点对线段BA所张的角为锐角，即∠APB为锐角．
即当x＜-1或0＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角．
故抛物线上存在点P，当点P的横坐标x满足x＜-1或O＜x＜3或x＞4时，∠APB为锐角．
分析：（1）依题意可得A，B．C三点坐标；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于M点，则M为AB的中点，AB为⊙M的直径，故∠ACB=90°；
（3）连接CD，求出D点坐标，如图1．设点P（x，y）是抛物线上任意一点，要使得∠APB为锐角，分情况讨论P点坐标．
点评：本题考查的是二次函数的两点坐标式以及圆的切线等综合知识，难度较大．