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已知：抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点A在一次函数y=- $数学公式$ x+8的图象上，该抛物线与x轴交于B、C两点（B在C的左侧），且过点D（0，4）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设H为线段OC上一点，过点H作HK∥BD，交AC于K，若△HKC的面积等于 $数学公式$ ，求直线HK的解析式；
（3）在（2）问的基础上抛物线上是否存在一点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线HK于Q，使点A、H、P、Q为等腰梯形的四个顶点？若存在求P点的坐标；若不存在请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴：x=1，则顶点A（1， $\text{[math]}$ ），依题意，有：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$
故抛物线的解析式：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4．

（2）由（1）知，抛物线的顶点A（1， $\text{[math]}$ ），过K作KM⊥x轴于M；
∵KH∥BD，
∴∠DBO=∠KHM
又∵∠DOB=∠KMH=90°，
∴Rt△DOB∽Rt△KMH，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，设HM=m，则KM=4m；（m＞0）
在Rt△CKM中，tan∠KCM= $\text{[math]}$ ，CM=KM÷tan∠KCM= $\text{[math]}$ m；
∴S_△CHK= $\text{[math]}$ ×（m+ $\text{[math]}$ m）×4m= $\text{[math]}$ ，解得：m= $\text{[math]}$
则：CH= $\text{[math]}$ m=2，KM=4m= $\text{[math]}$ ，OH=OC-CH=1，OM=OC-CM= $\text{[math]}$
即：H（1，0）、K（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
设直线HK：y=kx+b，代入点H、K的坐标，得：
$\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$
故直线HK的解析式：y=4x-4．

（3）由A（1， $\text{[math]}$ ）、H（1，0）知，AH∥y轴；
而PQ⊥x轴，即PQ∥y轴，所以AH∥PQ，若以A、H、P、Q为顶点的四边形为等腰梯形，则AH、PQ为底（如右图），
此时，点P必在抛物线对称轴的右侧，且Rt△AFQ≌Rt△HGP，则有：|y_Q-y_A|=|y_P|
设P（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4），则Q（x，4x-4），（x＞1），可列等式：
|4x-4- $\text{[math]}$ |=|- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4|，
解得：x=4
则P（4，- $\text{[math]}$ ）、Q（4，12），PQ＞AH；
综上，存在符合条件的P点，且坐标为（4，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由抛物线的解析式不难确定对称轴的坐标，代入一次函数的解析式中，即可得二次函数的顶点坐标，再结合点D的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式．
（2）过K作KM⊥x轴于M，由于HK∥BD，可判定△BOD∽△HMK，若设HM=m，根据HM、MK的比例关系即可得出MK的长度表达式，进而在Rt△CMK中，由∠OCA的正切值可求出CM的长，则HC的长可得，已知△HKC的面积，即可得到m的值，进而可求出H、K的坐标，利用待定系数法即可求出直线HK的解析式．
（3）由（2）的计算结果不难看出AH恰好与y轴平行，而PQ也和y轴平行，即AH∥PQ，若以A、H、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，那么AH、PQ必为梯形的上下底，因此A、P两点的纵坐标差的绝对值应等于点Q到x轴的距离（或Q、H纵坐标差的绝对值），可据此来列出等式求出P点的坐标．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、三角形面积的解法、相似三角形和全等三角形的应用以及等腰梯形的判定和性质；在判定等腰梯形时，一定要注意平行的一组边不能相等，这个条件是容易被忽视的地方．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知：抛物线y=x2-(a+b)x+

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为

，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否

存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．