Question

1．已知四边形ABCD是⊙O的内接垂直四边形，AB=3，CD=4，连接OA，OB，OC，OD，求图中扇形AOD和扇形BOC面积的和（图中阴影部分）．

Answer 1

分析 延长BO交⊙O于点E，连接AE，证明∠ABD=∠CAE得$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，即可知∠AOD=∠COE，继而得出S_扇形BOC+S_扇形AOD=S_扇形BOC+S_扇形COE=S_半圆，再由$\widehat{AE}+\widehat{DE}=\widehat{CE}+\widehat{DE}$即$\widehat{AE}=\widehat{CD}$，得出AE=CD=4，根据勾股定理求得直径的长度，即可得出答案．

解答 解：如图，延长BO交⊙O于点E，连接AE，

∵BE是直径，
∴∠BAE=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠ABD=∠CAE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CE}$，
∴∠AOD=∠COE，
∴S_扇形BOC+S_扇形AOD=S_扇形BOC+S_扇形COE=S_半圆，
∵$\widehat{AE}+\widehat{DE}=\widehat{CE}+\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AE}=\widehat{CD}$，即AE=CD=4，
∵AB=3，
∴直径BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，
∴S_扇形BOC+S_扇形AOD=S_半圆=$\frac{1}{2}$•π•（$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{8}$π．

点评 本题主要考查扇形的面积计算，熟练掌握圆周角定理、圆心角定理得出两扇形面积等于半圆的面积是解题的关键．