【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求PQ的长;
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△PQB能形成等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
【答案】(1);(2)t=;(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.
【解析】
试题(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;
(2)设出发秒钟后,△PQB能形成等腰三角形,则BP=BQ,由BQ=,BP=,列式求得即可;
(3)当点Q在边CA上运动时,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:①当CQ=BQ时(图1),则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得;
②当CQ=BC时(如图2),则BC+CQ=12,易求得;
③当BC=BQ时(如图3),过B点作BE⊥AC于点E,则求出BE,CE,即可得出.
试题解析:(1)BQ=2×2=4cm,BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,∵∠B=90°,
PQ=;
(2)BQ=,BP=,,解得:;
(3)①当CQ=BQ时(图1),则∠C=∠CBQ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,∴CQ=AQ=5,∴BC+CQ=11,∴=11÷2=5.5秒.
②当CQ=BC时(如图2),则BC+CQ=12,∴=12÷2=6秒.
③当BC=BQ时(如图3),过B点作BE⊥AC于点E,则BE=,所以CE=,故CQ=2CE=7.2,所以BC+CQ=13.2,∴=13.2÷2=6.6秒.
由上可知,当为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.
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【题目】如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求证:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),
①若△DMN的边与BC平行,求t的值;
②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc>0
②4a+2b+c>0
③4ac﹣b2<8a
④ <a<
⑤b>c.
其中含所有正确结论的选项是( )
A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤
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【题目】已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点,则k的取值范围为( )
A.k>﹣
B.k≥﹣ 且k≠0
C.k<﹣
D.k>﹣ 且k≠0
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【题目】根据条件求二次函数的解析式
(1)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3,最小值为﹣2,且过(0,1)点.
(2)抛物线过(﹣1,0),(3,0),(1,﹣5)三点.
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