Question

12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的面积为16，点D的坐标为（0，3）．将直线BD沿y轴向下平移d个单位得到直线l（0＜d≤4）．

（1）则点B的坐标为4；
（2）当d=1时，求直线l的函数表达式；
（3）设直线l与x轴相交于点E，与边AB相交于点F，若CE=CF，求d的值并直接写出此时∠ECF的度数．

Answer 1

分析 （1）由正方形的面积可求得其边长为4，则可求得B点坐标；
（2）利用待定系数法可求得直线l的解析式，再利用直线的平移可求得直线l的解析式；
（3）用d可表示出直线l的解析式，则可表示出E、F的坐标，再由勾股定理可表示出CE和CF的长，由条件可得到关于d的方程，可求得d的值，进一步可求得∠ECF的度数．

解答 解：
（1）∵正方形的面积为16，
∴OA²=16，解得OA=4，
∴B（4，4），
故答案为：（4，4）；

（2）设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD解析式为y=$\frac{1}{4}$x+3，
当d=1时，则直线l的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+2；

（3）由（2）可知直线BD解析式为y=$\frac{1}{4}$x+3，
向下平移d个单位时，可得直线l解析式为y=$\frac{1}{4}$x+3-d，
当y=0时可得$\frac{1}{4}$x+3-d=0，解得x=4d-12，当x=4时，则y=4-d，
∴E（4d-12，0），F（4，4-d），且C（0，4），
∴CE²=（4d-12）²+4²，CF=4²+（4-d-4）²=4²+d²，
∵CE=CF，
∴（4d-12）²+4²=4²+d²，解得d=4或d=$\frac{12}{5}$
当d=4时，则点E和点F重合，可得∠ECF=0°；
当d=$\frac{12}{5}$时，则E（-$\frac{12}{5}$，0），F（4，$\frac{8}{5}$），
∴EF²=（4+$\frac{12}{5}$）²+（$\frac{8}{5}$）²=$\frac{1088}{25}$，且CE²=CF²=4²+（$\frac{12}{5}$）²=$\frac{544}{25}$，
∴CE²+CF²=EF²，
∴∠ECF=90°，
综上可知当CE=CF时，当d=4时∠ECF=0°，当d=$\frac{12}{5}$时∠ECF=90°．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、勾股定理及其逆定理、待定系数法、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中利用正方形的面积求得边长即可，在（2）中求得直线BD的解析式，掌握平移的规律是解题的关键，在（3）中用d表示出E、F的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．