Question

6．如图1，直线y=2kx+6k（k＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）当k=1时，求△AOB的面积；
（2）当OA=OB时，如图2，Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=2，求MN的长；
（3）当k取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图3，当点B在y轴正半轴上运动时，求△BPE的面积S与k的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由k=1代入直线l解析式中，求出k，即可得出点A，B坐标，从求出结论；
（2）由OA=OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度OM，再用勾股定理求出ON即可；
（3）作EG⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BGE，利用全等三角形对应边相等得到OA=BG，EG=OB，再利用AAS得到△PBF≌△PGE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长，最后用面积公式即可．

解答 解：（1）当k=1时，直线AB解析式为y=2x+6，
∴A（-3，0），B（0，6），
∴OA=3，OB=6，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
（2）∵OA=3，
∴OB=OA=3，
∵∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠BON=90°，
∵AM⊥OQ，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠OAM=∠BON，
在△AOM和△BON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ONB=90°}\\{∠OAM=∠BON}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON，
∴OM=BN=2
，在Rt△BON中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴MN=OM+ON=2+$\sqrt{5}$
（3）如图3，
∵直线y=2kx+6k，
∴B（0，6k），
∴OB=6k，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴BF=OB=6k，
作EG⊥y轴于G点，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠EBG+∠ABO=90°，
∵∠EBG+∠BEG=90°，
∴∠ABO=∠BEG，
在△AOB和△BKE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGE=∠AOB=90°}\\{∠ABO=∠BEG}\\{AB=BE}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△BGE（AAS），
∴OA=BG，EG=OB=6k，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB=BF，
∴EG=BF，
在△EGP和△FBP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGP=∠PBF=90°}\\{∠GPE=∠BPF}\\{EG=BF}\end{array}\right.$
∴△PBF≌△PGE（AAS），
∴PG=PB，
∴PB=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴S=S_△BPE+S_△BPF=$\frac{1}{2}$BP×EG+$\frac{1}{2}$BP×BF=$\frac{1}{2}$BP×（EG+BF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（6k+6k）=15k．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是判定△AOM≌△BON，难点是确定出PB的值．