Question

如图，已知A（-3，0），B（0，-4），P（m，n）为某一函数A图象在第一象限上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．
（1）若函数A的解析式为：y=-x+5，是否存在点P，使得四边形ABCD面积取得最值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若函数A的解析式为：，是否存在点P，使得四边形ABCD面积取得最值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解（1）∵点P的坐标为（m，n），0＜m＜5，0＜n＜5，
由题意可知m+n=5，AC=m+3，BD=n+4，
则n=5-m，
∴S_{四边形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n）
=-（m-3）²+18，
∴当 m=3时，四边形ABCD面积取最大值为18，
四边形ABCD面积无最小值．
∴存在点P（3，2），使四边形ABCD面积取得最大值，不存在点P，使得四边形ABCD面积取得最小值．

（2）∵点P的坐标为（m，n），m＞0，n＞0，
由题意可知mn=12  AC=m+3  BD=n+4，
∴S_{四边形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n），
=12+（2m+），
=2（-）²+24，
且当m=（m＞0），即m=3时，四边形ABCD面积取最小值为24，
四边形ABCD面积无最大值．
∴存在点P（3，4），使四边形ABCD面积取得最小值，不存在点P，使得四边形ABCD面积取得最大值．
分析：（1）根据P点坐标得出AC，BD的长，进而利用S_{四边形ABCD}=AC•BD得出有关m的二次函数解析式，进而求出最值即可；
（2）利用点P的坐标为（m，n），由题意可知mn=12 AC=m+3 BD=n+4，得出S_{四边形ABCD}=AC•BD利用完全平方公式性质，进而得出四边形ABCD面积取最小值．
点评：此题主要考查了对角线互相垂直的四边形面积求法以及一次函数和反比例函数图象上点的坐标性质和二次函数最值问题等知识，根据已知表示出AC，BD的长是解题关键．