Question

3．如图，O为直线AB上一点，∠DOC为直角，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论错误的是（　　）

• A． ∠DOG与∠BOE互补
• B． ∠AOE-∠DOF=45°
• C． ∠EOD与∠COG互补
• D． ∠AOE与∠DOF互余

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可设∠AOE=∠COE=α，∠BOG=∠COG=β，利用平角等于得出α+β=90°，∠EOG=90°．根据同角的余角相等得出∠DOG=∠COE=90°-∠COG=α，则∠BOD=∠DOG-∠BOG=α-β．∠BOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$（α-β）．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．

解答 解：∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，
∴可设∠AOE=∠COE=α，∠BOG=∠COG=β，
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∴2α+2β=180°，
∴α+β=90°，∠EOG=90°．
∵∠DOC=90°，
∴∠DOG=∠COE=90°-∠COG=α，
∴∠BOD=∠DOG-∠BOG=α-β．
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$（α-β）．
A、∵∠DOG=α=∠AOE，∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠DOG+∠BOE=180°，
故本选项结论正确，不符合题意；
B、∵∠AOE=α，∠DOF=$\frac{1}{2}$（α-β），
∴∠AOE-∠DOF=α-$\frac{1}{2}$（α-β）=$\frac{1}{2}$（α+β）=45°，
故本选项结论正确，不符合题意；
C、∵∠EOD=∠EOG+∠GOD=90°+α，∠COG=β，
∴∠EOD+∠COG=90°+α+β=180°，
故本选项结论正确，不符合题意；
D、∵∠AOE+∠DOF=α+$\frac{1}{2}$（α-β）=$\frac{3}{2}$α-$\frac{1}{2}$β=$\frac{3}{2}$α-$\frac{1}{2}$（90°-α）=2α-45°，
∴当α=67.5°时，∠AOE+∠DOF=90°，
但是题目没有α=67.5°的条件，
故本选项结论错误，符合题意；
故选D．

点评 本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，准确识图是解题的关键．