Question

如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，以EF为折线折叠正方形ABCD，B点落在AD上的B′处，C′为C的对应点，B′C′与DC交于点G，正方形的边长为2．
（1）若B′为AD的中点，求BE的长；
（2）若B′为动点，△DGB′的周长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出周长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）根据折叠的性质得到EB′=EB，设BE=t，则AE=2-t，在Rt△AEB′中根据勾股定理得到（2-t）²+1²=t²，然后解方程得到t=

5

4

；
（2）根据折叠的性质得EB′=EB，∠EB′C′=∠B=90°，设BE=t，则EB′=tAB′=x，AE=2-t，DB′=2-x，再证明Rt△AEB′∽Rt△DB′G，根据相似的性质得

2-t

2-x

=

x

DG

=

t

B′G

，得到DG=

x(2-x)

2-t

，B′G=

t(2-x)

2-t

，然后计算△DGB′的周长=B′D+DG+B′G=2-x+

x(2-x)

2-t

+

t(2-x)

2-t

=

4-x2

2-t

，再在Rt△AEB′中根据勾股定理得到（2-t）²+x²=t²，变形得到x²=4t-4，接着进行分式的运算可得到△DGB′的周长为4．

解答：解：（1）∵B′为AD的中点，
∴AB′=1，
∵以EF为折线折叠正方形ABCD，B点落在AD上的B′处，
∴EB′=EB，
设BE=t，则AE=2-t，
在Rt△AEB′中，∵AE²+AB′²=EB′²，
∴（2-t）²+1²=t²，解得t=

5

4

，
即BE的长为

5

4

；
（2）△DGB′的周长不发生变化．
∵以EF为折线折叠正方形ABCD，B点落在AD上的B′处，
∴EB′=EB，∠EB′C′=∠B=90°，
设BE=t，则EB′=tAB′=x，AE=2-t，DB′=2-x，
∵∠AB′E+∠DB′G=90°，∠AB′E+∠AEB′=90°，
∴∠AEB′=∠DB′G，
∴Rt△AEB′∽Rt△DB′G，
∴

AE

DB′

=

AB′

DG

=

EB′

B′G

，即

2-t

2-x

=

x

DG

=

t

B′G

，
∴DG=

x(2-x)

2-t

，B′G=

t(2-x)

2-t

，
∴△DGB′的周长=B′D+DG+B′G
=2-x+

x(2-x)

2-t

+

t(2-x)

2-t

=（2-x）•

2-t+x+t

2-t

=

4-x2

2-t

，
在Rt△AEB′中，∵AE²+AB′²=EB′²，
∴（2-t）²+x²=t²，
∴x²=4t-4，
∴△DGB′的周长=

4-(4t-4)

2-t

=4．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了正方形的性质、勾股定理和三角形相似的判定与性质．