Question

如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，∠C=90°，E在AB边上，以AE为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，AD的弦心距为1，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC是圆O的切线；

（2）如图，过圆心O作OE⊥AD于点E，则OE=1．
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
由（1）知，∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠DAB=30°．
在直角△AEO中，AE=OE•cot30°=，则根据垂径定理知AD=2AE=2．
在直角△ACD中，CD=AD=AE=，AC=CD•cot30°=3，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD²=CF•AC，则CF=1，
∴AF=AC-CF=2，即AF的长度是2．
分析：（1）如图，连接OD．欲证明BC是⊙O的切线，只需证得OD⊥BC；
（2）如图，过圆心O作OE⊥AD于点E，则OE=1．根据垂径定理求得AD=2AE．通过解直角△ACD求得CD、AC的长度．然后利用切割线定理来求CF=1，则AF=AC-CF=2．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．