Question

【题目】在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，把纸片展开，得到折痕EF（如图1）；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．

请解答以下问题：
（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？

Answer 1

【答案】
（1）

解：△BMP是等边三角形，

证明如下：如图1，连接AN，

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

由折叠可知AB=BN，

∴AN=AB=BN，

∴△ABN为等边三角形，

∴∠ABN=60°，

∴∠PBN=30°，

∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，

∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，

∴∠BMP=60°，

∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，

∴△BMP为等边三角形

（2）

解：要在矩形纸片ABCD上剪出等边三角形BMP，则BC≥BP，

在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，

∴ =cos30°，

∴BP= = a，

∴b≥ a，

即当b≥ a时，在矩形上能剪出这样的等边三角形BMP

（3）

解：∵∠M′BC=60°，

∴∠ABM′=90°﹣60°=30°，

在Rt△ABM′中，tan∠ABM′= ，

∴tan30°= ，解得AM′= ，

∴M′（ ，2），代入y=kx中，可求得k= ；

如图2，设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC于点H，

由折叠的性质可知∠A′BM′=∠ABM′=30°，A′B=AB=2，

∴∠A′BH=∠M′BH﹣∠A′BM′=30°，

在Rt△A′BH中，A′H= A′B=1，BH= ，

∴A′（ ，1），

∴A′落在EF上．

【解析】（1）连接AN，可证△ABN为等边三角形，可求得∠ABM=∠NBM=30°，则可求得∠PBM=∠BMP=60°，可证得△BMP为等边三角形；（2）由题意可知BC＞BP，在Rt△BNP中，可求得a=BPcos30°，则可找到a、b满足的关系；（3）在Rt△ABM′中可求得AM′的长，则可求得M′的坐标，代入直线y=kx可求得k的值；设△ABM′沿BM′折叠后点A在矩形OADC内的对应点为A′，过A′作A′H⊥BC于点H，在△A′BH中可求得A′H、BH的长，可求得A′点的坐标，进行判断即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解翻折变换（折叠问题）的相关知识，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．