Question

如图，AB为⊙O直径，D为

BC

的中点，DE⊥AC于E，
（1）求证：OD⊥DE；
（2）已知CE=1，DE=3，求AD长．

Answer 1

分析：（1）由D为

BC

的中点，根据圆周角定理得到∠CAD=∠DAB，而∠DAB=∠ADO，则∠CAD=∠ADO，于是有AE∥OD，又DE⊥AC，即可得到结论；
（2）连CD，BD，利用直径所对的圆周角为直角以及圆内接四边形的性质易得到∠ECD=∠ADE=∠B，根据三角形相似的判定有Rt△ECD∽Rt△EDA，则DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，求出AE，然后利用勾股定理计算出AD．

解答：（1）证明：∵D为

BC

的中点，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠DAB，
而∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE；

（2）解：连CD，BD，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠ADE+∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠ECD=∠B，
∴∠ECD=∠ADE，
∴Rt△ECD∽Rt△EDA，
∴DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，
∴AE=3，
∴AD=

AE2+DE2

=

32+92

=3

10

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理以及三角形相似的判定与性质．