Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB中点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）若∠A=60°，AB=10，求四边形ABEC的周长；
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形ACED是平行四边形，四边形BDCE是菱形即可解决问题；
（2）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．只要证明∠CEB=90°即可；

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴∠DFB=∠ACB=90°，
∴AC∥DE，
∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
AD=EC=DB，∵CE∥DB，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵CD=DA=DB，
∴四边形BDCE是菱形，
在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=10，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CE=EB=BD=AD=5，
∴四边形ABEC的周长为25．

（2）结论：当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
理由：∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠A=∠CED=45°，
∵四边形BDCE是菱形，
∴∠CED=∠DEB=45°，
∴∠CEB=90°，
∴四边形BDCE是正方形．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．