Question

如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一点N、M，使得BM+MN的值最小，这个最小值为

1. A.
   12
2. B.
   10
3. C.
   16
4. D.
   20

Answer 1

C
分析：作B关于AC的对称点B′，连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距离BH′，连B与AB′和DC的交点P，再由三角形的面积公式可求出S_△ABP的值，根据对称的性质可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S_△ABP=PA•BH′即可求解．
解答：解：如图，作B关于AC的对称点B′，
连AB′，则N点关于AC的对称点N′在AB′上，
这时，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，
等于B到AB′的距离BH′，
连B与AB′和DC的交点P，
则S_△ABP=×20×10=100，
由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA，
所以PA=PC，令PA=x，则PC=x，PD=20-x，
在Rt△ADP中，PA²=PD²+AD²，
所以x²=（20-x）²+10²，
所以x=12.5，
因为S_△ABP=PA•BH′，
所以BH′=．
点评：本题考查的是最短路线问题及轴对称的性质，作出B点关于直线AC对称的点B′是解答此题的关键．