Question

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{m-1}{4}{x}^{2}+\frac{5m}{4}x+{m}^{2}-3m+2$与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线经过原点，可知m²-3m+2=0，从而可求得m的值，将m得值代入可求得抛物线的解析式，将x=2代入抛物线的解析式可求得点B的纵坐标；
（2）①由点B的坐标先求得直线OB的解析式为y=2x，然后令抛物线的y值为0，从而可求得点A的坐标为（10，0），设点P的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a），由等腰三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形三线合一的性质可知EC=BP=2a，从而得到C的坐标为 （3a，2a），将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a=$\frac{22}{9}$，从而可求得OP的长；②由点A（10，0），点B（2，4）求得直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5．如图2所示：当CD与NQ在同一条直线上，先证明DPQ为等腰直角三角形，则OP、PQ、AQ的长可依次表示为t，4t，2t个单位，由OP+PQ+AQ=10，可求得t的值；当PC与MN在同一条直线上，如图3所示；先证明△PQM为等腰直角三角形．然后求得：OP=t、QA=2t，PQ=2t，由OP+PQ+AQ=10，可求得t的值；点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示：OP=t、AQ=2t，由OP+AQ=10可求得t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{m-1}{4}$x2+$\frac{5m}{4}$x+m²-3m+2经过原点，
∴m²-3m+2=0．
解得：m₁=1（舍去），m₂=2．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x．
∵点B（2，n）在抛物线y=$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x上，
∴$-\frac{1}{4}$×2²+$\frac{5}{2}$×2=n，即n=4．
∴点B的坐标为 （2，4）．
（2）①设直线OB的解析式为 y=k₁x
∵B（2，4），
∴4=2k，即k=2．
∴直线OB的解析式为y=2x．
∵A点是抛物线与x轴的一个交点，
∴$-\frac{1}{4}$x²+$\frac{5}{2}$x=0，解得：x₁=0，x₂=10．
∴A点的坐标为 （10，0）．
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）．
根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1所示．

∵CE为等腰直角三角形DCP斜边上的中线，
∴EC=BP=2a．
∴C的坐标为 （3a，2a）．
由C点在抛物线上得 2a=-$\frac{1}{4}$×（3a）²+$\frac{5}{2}$×3a即 $\frac{9}{4}$a²-$\frac{11}{2}$a=0，解之得a₁=$\frac{22}{9}$，a₂=0（舍去），
∴OP=$\frac{22}{9}$．
②设直线AB的解析式为y=k₂x+b．
由点A（10，0），点B（2，4）求得直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5．
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示；

∵△DPC与△MNQ为等腰直角三角形，
∴△DPQ为等腰直角三角形，则OP、DP、AQ的长可依次表示为t，4t，2t个单位，
∴PQ=DP=4t．
∴t+4t+2t=10，
∴t=$\frac{10}{7}$．
第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示；

∵△DPC与△MNQ为等腰直角三角形，
∴△PQM为等腰直角三角形．
∴OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位，
∴OQ=10-2t．
∵F点在直线AB上，
∴FQ=-$\frac{1}{2}$（10-2t）+5=t，
∴MQ=2t．
∴PQ=MQ-CQ=2t．
∴t+2t+2t=10．
∴t=2．
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示；

∵OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位，
∴t+2t=10．
∴=$\frac{10}{3}$．
综上，符合题意的t值分别为$\frac{10}{7}$、2、$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用可函数图象上的点坐标与函数解析式的关系、待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、利用含t的式子表示OP、QP、AQ的长是解题的关键．