Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵该抛物线过点C（0，2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．

将A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+2．

（2）解：存在．

由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC= =2 ．

在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则 ×2 h= ×2×4，

∴h= ．

∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），

∴ = ，

∴y=±2

将y=2代入抛物线y=﹣ x2+ x+2，

得x1=0，x2=3．

当y=﹣2时，不合题意舍去．

∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）解：如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

，

∴ ，

yBC=﹣ x+2．

由BC∥AD，设AD的解析式为y=﹣ x+n，由图象，得

0=﹣ ×（﹣1）+n

∴n=﹣ ，

yAD=﹣ x﹣ ．

∴﹣ x2+ x+2=﹣ x﹣ ，

解得：x1=﹣1，x2=5

∴D（﹣1，0）与A重合，舍去；

∴D（5，﹣3）．

∵DE⊥x轴，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD= ．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC= ，BC=2 ，

∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四边形ACBF是矩形，

∴AC=BF= ，

在Rt△BFD中，由勾股定理，

得DF= ，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．

【解析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标；（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，由BC∥AD设BC的解析式为y=kx+b，设AD的解析式为y=kx+n，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点D坐标，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．