Question

14．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-6mx+5与y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B（b，0），C（c，0）．
（1）当b=1时，求抛物线相应的函数表达式；
（2）当b=1时，如图，E（t，0）是线段BC上的一动点，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线的交点为P．求△APC面积的最大值；
（3）当c=b+n时，且n为正整数，线段BC（包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b的值．

Answer 1

分析 （1）当b=1时，将点B（1，0）代入抛物线y=x²-6mx+5中求出m，即可解决问题．
（2）如图1中，直线AC与PE交于点F．切线直线AC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形①当b整数时，n为整数，可知n=4，c=b+4．则b，b+4是方程x²-mx+5=0的两个根，分别代入方程中求解即可，②当b小数时，n为整数，∴n=5，c=b+5为小数，则b，b+5是方程x²-6x+5=0的两个根，

解答 解：（1）当b=1时，将点B（1，0）代入抛物线y=x²-6mx+5中，得m=1，
∴y=x²-6x+5；

（2）如图1中，直线AC与PE交于点F．

当b=1时，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函数表达式为y=-x+5，
∵E（t，0），
∴P （t，t²-6t+5），直线l与AC的交点为F（t，-t+5），
∴PF=（-t+5）-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$×（-t²+5t）•5=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，面积S有最大值$\frac{125}{8}$；

（3）①当b整数时，n为整数，
∴n=4，c=b+4．则b，b+4是方程x²-mx+5=0的两个根，分别代入方程中，
得b²-mb+5=0     ①，（b+4）²-m（b+4）+5=0     ②，
由①②可得b²+4b-5=0，解得b=1或-5（舍）；
或由一元二次方程根与系数的关系得 b（b+4）=5解得b=1或-5（舍）．
②当b小数时，n为整数，∴n=5，c=b+5为小数，则b，b+5是方程x²-mx+5=0的两个根，同样可得b=$\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-5-3\sqrt{5}}{2}$（舍弃）；
∴b=1或$\frac{-5+3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、最值问题、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练应用思想知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于不能漏解，属于中考压轴题．