Question

8．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其进价和售价如下表：

商品名称	甲	乙
进价（元/件）	80	100
售价（元/件）	160	240

设其中甲种商品购进x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．商场计划用于购进这两种商品的费用不超过9000元．
（1）写出y关于x的函数关系式：
（2）该商场至少要购进多少件甲商品？销售完这些商品．商场可获得的最大利润是多少元？
（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调m元（50＜m＜70）出售．且限定商场最多购70件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．

Answer 1

分析 （1）根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入列关系式，并化简；
（2）根据总成本≤9000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；
（3）把50＜m＜70分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论．

解答 解：（1）y=80x+140（100-x）=-60x+14000．
80x+100（100-x）≤9000，
解得x≥50，
∴50≤x≤100．
（2）∵y=-60x+14000，50≤x≤100，
又∵-60＜0，
∴x=50时，y有最大值，最大值=11000，
答：商场至少要购进50件甲商品，销售完这些商品．商场可获得的最大利润，最大利润为11000元．

（3）y=（80+m）x+140（100-x）   （50≤x≤100），
y=（m-60）x+14000，
①当50＜m＜60时，m-60＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=50时，y有最大利润，
即商场应购进甲商品50件，乙商品50件，获利最大，
②当m=60时，m-60=0，y=28000，
即商场应购进甲商品的数量满足50≤x≤100的整数件时，获利最大，
③当60＜m＜70时，m-60＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=100时，y有最大利润，
即商场应购进甲商品100件，乙商品0件，获利最大．

点评 本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量，商品利润率=商品利润/商品进价×100%；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小