Question

13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是55°．

Answer 1

分析 延长PF、EB交于点G；连接EF，易证△BGF≌△CPF，则点F为PG的中点，FP=FG=FE，则∠FPC=∠FGB=∠GEF；连接AC，则∠GEF=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=55°，进而可求出∠FPC的度数．

解答 解：延长PF、EB交于点G；连接EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AG∥DC，
∴∠GBF=∠PCF，
∵F是BC中点，
∴BF=CF，
在△BGF和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBF=∠PCF}\\{BF=CF}\\{∠BFG=∠CFP}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△CPF，
∴PF=GF，
∴点F为PG的中点，
∵∠GEP=90°，
∴FP=FG=FE，
∴∠FPC=∠FGB=∠GEF，
连接AC，
则∠GEF=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=55°，
∴∠FPC的度数是55°，
故答案为：55°．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，题目的综合性较强难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，从而得到点F为PG的中点．