Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上。设FG=x，矩形BEFG的面积为y。

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；
（3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形，若能，求其边长；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点D作DH⊥AB于H， 因为在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH， 所以△AGF∽△AHD， 所以，即，得， 所以， 因此， 即所求的函数关系式为； （2）依题意，得， 因为a≠0，解以上方程得，x1=1，x2=3， 因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1， 故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1； （3）矩形BEFG不能成为正方形； 在Rt△AHD中，因为∠DAH=30°，所以tan30°=， 即a=， 因为EF≥CD=a=>2，即EF＞2， 又因为0＜x≤2，即0＜FG≤2，所以EF＞FG， 因此矩形BEFG不能成为正方形。