【题目】尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:a2+b2=5c2
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故 ,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.
【答案】
(1)
解:设PF=m,PE=n,连结EF,如图1,
∵AF,BE是△ABC的中线,
∴EF为△ABC的中位线,AE= b,BF= a,
∴EF∥AB,EF= c,
∴△EFP∽△BPA,
∴ ,即 = ,
∴PB=2n,PA=2m,
在Rt△AEP中,∵PE2+PA2=AE2,
∴n2+4m2= b2①,
在Rt△AEP中,∵PF2+PB2=BF2,
∴m2+4n2= a2②,
①+②得5(n2+m2)= (a2+b2),
在Rt△EFP中,∵PE2+PF2=EF2,
∴n2+m2=EF2= c2,
∴5 c2= (a2+b2),
∴a2+b2=5c2;
(2)
解:∵四边形ABCD为菱形,
∴BD⊥AC,
∵E,F分别为线段AO,DO的中点,
由(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,
∵AG∥BC,
∴△AEG∽△CEB,
∴ = ,
∴AG=1,
同理可得DH=1,
∴GH=1,
∴GH∥BC,
∴ = ,
∴MB=3GM,MC=3MH,
∴9MG2+9MH2=45,
∴MG2+MH2=5.
【解析】(1)设PF=m,PE=n,连结EF,如图1,根据三角形中位线性质得EF∥AB,EF= c,则可判断△EFP∽△BPA,利用相似比得到PB=2n,PA=2m,接着根据勾股定理得到n2+4m2= b2 , m2+4n2= a2 , 则5(n2+m2)= (a2+b2),而n2+m2=EF2= c2 , 所以a2+b2=5c2;(2)利用(1)的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45,再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1,同理可得DH=1,则GH=1,然后利用GH∥BC,根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM,MC=3MH,然后等量代换后可得MG2+MH2=5.本题考查了相似三角形的判定:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了三角形中位线性质和菱形的性质.
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【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O外一点,CA,CD是⊙O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA的大小是( )
A.15°
B.30°
C.60°
D.75°
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【题目】为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资.已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示:
港口 | 运费(元/台) | |
甲库 | 乙库 | |
A港 | 14 | 20 |
B港 | 10 | 8 |
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC—CD—DA运动,到达点A停止运动,另一动点N同时从点B出发,以1cm/s的速度沿着边BA向点A运动,到达点A停止运动,设点M运动时间为x(s),△AMN的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1 , 然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m,量得CE=2m,EC1=6m,C1E1=3m.
(1)△FDM∽△ , △F1D1N∽△
(2)求电线杆AB的高度.
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【题目】如图,已知第一象限内的图象是反比例函数y= 图象的一个分支,第二象限内的图象是反比例函数y=﹣ 图象的一个分支,在x轴的上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点A、B,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为C、D.若四边形ABCD的周长为8且AB<AC,则点A的坐标为 .
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