Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，M是AB的中点，试问：DM是否为∠ADC的平分线？说明理由．

Answer 1

解：DM，CM分别是∠ADC和∠DCB的平分线．理由如下：
证明：延长DM交CB延长线于N．
∵AD∥BC，
∴ADM=∠N，
又∵AM=BM，∠AMD=∠NMB，
∴△AMD≌△BMN，
∴DM=MN，AD=BN．
∵CD=AD+BC=BN+BC，
∴CD=CN，
∴∠CDN=∠N=∠ADN，
∴MD是∠ADC的平分线．
分析：可通过构建全等三角形来求解．延长DM交CB延长线于N，可通过证明△ADM≌△BNM得出DM=MN，AD=BN根据AD+BC=CD，可得出CD=CN．那么CM就是等腰三角形CDN底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，CM就是∠BCD的平分线，证CN是∠ADC的平分线，可通过等腰三角形的两底角相等及两直线平行，内错角相等来求得．
点评：本题主要考查了梯形、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定．通过构建全等三角形来求出角和边相等是解题的关键．