Question

14．在△ABC中，∠ABC=60°，AB=8，AC=7，EF为AB垂直平分线，垂足为E，交直线BC于F，则CF的长为5或3．

Answer 1

分析 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，符合题意的三角形有两个，画出△ABC与△ABC′．作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出C′D=CD．由EF为AB的垂直平分线，得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB．根据△BEF、△ABD都是含30度角的直角三角形，得到BF=2BE=8，BD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=$\sqrt{3}$BD=4$\sqrt{3}$，则DF=BF-BD=4．在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=1，那么C′D=CD=1，然后求出CF=CD+DF=5，或C′F=DF-C′D=3．

解答 解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AC=AC′=7，AD⊥BC于D，
∴C′D=CD．
∵EF为AB垂直平分线，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴BF=2BE=8．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=$\sqrt{3}$BD=4$\sqrt{3}$，
∴DF=BF-BD=8-4=4．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴C′D=CD=1，
∴CF=CD+DF=1+4=5或C′F=DF-C′D=4-1=3．
故答案为5或3．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，根据题意画出图形进行分类讨论是解题的关键．