Question

1．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：AE+CD=AC；
（3）求证：OE=OD．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC中，∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120度．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC=120°；
（2）求出∠AOE=60度．在AC上截取AF=AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，∠AOE=∠AOF=60°，可证△COD≌△COF，则CD=CF．因为AF=AE，所以AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC；
（3）根据全等得出OE=OF，OD=OF，即可得出答案．

解答 （1）解：在△ABC中，∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°．
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠OAC=∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCD=∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△OAC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$×120°=120°；

（2）证明：∵∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
在AC上截取AF=AE，连接OF，如图，
在△AOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{∠OAE=∠OAF}\\{OA=OA}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF，
∴∠AOF=60°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，
又∠COD=60°，
∴∠COD=∠COF，
在△COD和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠COF}\\{OC=OC}\\{∠OCD=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD=CF．
又∵AF=AE，
∴AC=AF+CF=AE+CD，
即AE+CD=AC；

（3）证明：∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF，
∴OE=OF，OF=OD，
∴OE=OD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系．