Question

6．已知抛物线y=x²-2mx+m+m²+2与x轴交于点（a，0）（b，0），则（a-1）²+（b-1）²最小值为18．

Answer 1

分析 令y=x²-2mx+m+m²+2=0，首先根据抛物线与x轴有交点求出m的取值范围，然后把（a-1）²+（b-1）²转化为关于m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出（a-1）²+（b-1）²最小值．

解答 解：令y=x²-2mx+m+m²+2=0，
∵抛物线与x轴有交点，
∴4m²-4m-4m²-8≥0，
∴m≤-2，
∴a+b=2m，ab=m+m²+2，
∴（a-1）²+（b-1）²
=a²-2a+1+b²-2b+1
=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2
=4m²-2m-2m²-4-4m+2
=2m²-6m-2
=2（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{13}{2}$，
∵2＞0，m≤-2，
∴当m=-2时，有最小值为18，
故答案为18．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是把（a-1）²+（b-1）²转化为关于m的函数关系式，此题难度不大．